Метод функций Грина и другие методы

Средства MAPLE позволяют использовать и другие методы решения уравнений. Рассмотрим процедуру построения формальных решений неоднородных уравнений параболического типа методом функций Грина.

Основными этапами построения решения этим методом являются:

1) ввод неоднородного уравнения;

2) ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье;

3) разложение функций в ряд Фурье;

4) определение коэффициентов разложения;

5) подстановка разложений функций в исходное уравнение;

6) представление решения в виде суммы решений однородного и неоднородного уравнений;

7) учет НУ, определение коэффициентов и вывод решения однородного уравнения;

8) построение функции Грина;

9) вывод решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с помощью функции Грина;

10) вывод решения уравнения.

Для неоднородных уравнений представим функциональные алгоритмы построения решений задачи о теплопроводности.

Функциональный алгоритм формального решения неоднородного уравнения параболического типа методом функций Грина:

1. Ввод неоднородного уравнения

PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x)+w(t,x);

2. Ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье

u(t,x):=Sum(u[n](t)*sin(Pi*n* x/L),n=1..infinity);

3. Разложение функций в ряд Фурье

w(t,x):=Sum(w[n](t)*sin(Pi*n*x/ L),n=1..infinity);

F(x):=Sum(F[n]*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);

4. Определение коэффициентов разложения

w[n](t)=(2/L)*int(w(t,xi)*sin(Pi*n*xi/l), xi=0..L);

F[n]=(2/L)*int(F(xi)*sin(Pi*n* xi/L),xi=0..L);

5. Подстановка разложений функций u(t,x) и w(t,x) в исходное уравнение PDE;

6. Представление решения в виде суммы решений однородного и неоднородного уравнений

u[n](t)=u_Un[n](t)+u_Nu[n](t): u_Un[n](t):=_C1*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*t): u_Nu[n](t):=(Int(w[n](tau)*exp(a^2*Pi^2*n^2/L^2*(tau-t)),tau)):

7. Учет начальных условий, определение коэффициентов и вывод решения однородного уравнения

u_0:=subs(t=0,u(t,x))=F(x): u[n](0)=F[n];

eval(subs(t=0,u_Un[n](t)))= F[n];

8. Построение функции Грина

G(x,xi,t,tau):=Sum(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(ttau))*

*sin(Pi*n*xi/L)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);

9. Вывод решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с помощью функции Грина

u_Un(t,x):=Sum(u_Un[n](t)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);

u_Nu(t,x):=int(int(G(x,xi,t,tau)*w(tau,xi),xi=0..L),tau=0..t);

10. Вывод решения исходного неоднородного уравнения

u(t,x):=u_Un(t,x)+u_Nu(t,x);

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К дифференциальным уравнениям с частными производными мы приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Курсовая работа посвящена именно решению дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в прикладном математическом пакете Maple.

Были рассмотрены основные этапы реализации решений уравнений математическими методами, такими как метод разделенных переменных и метод Грина. Показаны решения уравнений параболического типа, и в приложении приведены примеры решения неоднородных уравнений методом функции Грина.

При цитировании материалов в рефератах, курсовых, дипломных работах правильно указывайте источник цитирования, для удобства можете скопировать из поля ниже:

Поделиться материалом