ВВЕДЕНИЕ

Прикладной математический пакет MAPLE обладает большим набором инструментов для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди них: установление порядка уравнения, исследование на возможность разделения переменных, определение условий поиска решения в виде суммы или произведения функций, получение решения из функций, получаемых командой pdsolve для разделенных уравнений, выполнение замены переменных и различных подстановок и т.п.

Между тем последовательное решение дифференциальных уравнений в частных производных (даже в самых простых случаях) представляет собой сложную комплексную задачу, требующую специальных математических навыков, корректного учета начальных и граничных условий, проведения исследования полученных решений. При этом трудоемкие разделы математики - векторный анализ, специальные функции, теория рядов, интегральные преобразования и другие - являются необходимыми средствами для решения задач математической физики. Заметим, что эти математические инструменты высокоразвиты в MAPLE и удобны для применения, по их использованию в научных исследованиях и образовании имеется обширная литература. Проблема же решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием математических пакетов в виду ее сложности до сих пор требует особых подходов и разработок. При этом оказывается, что для большого числа задач с использованием символьного MAPLE-процессора можно составить достаточно универсальные алгоритмы, с помощью которых на входном MAPLE-языке можно запрограммировать формальное построение решения дифференциальных уравнений в частных производных. Построенные общие решения могут быть программными же средствами использованы для конкретных физических задач.

Построение формального решения на входном Maple-языке

Проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE представляет собой программную задачу, сочетающую использование инструментов пакета с необходимыми дополнительными алгоритмами: учет начальных и граничных условий (НУ и ГУ), сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций), программное использование дополнительной и/или специальной информации (например, использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций, которые пока недоступны средствами MAPLE) и т.п. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном аналитическом и численном - решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов).

Для программирования построения формального решения на входном MAPLE-языке необходим ввод необходимой начальной информации (табл. 1) с последующим выполнением определенных алгоритмических операций (табл. 2).

Таблица 1

Типы информации при решении дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE

Тип информации

Содержание

Основная

Информация

Вызов пакетов расширения.

Задание системы координат.

Ввод дифференциального уравнения в частных производных.

Ввод начальных и граничных условий.

Ввод различных функций и операторов.

Вызов средств аналитического или численного решения уравнений.

Дополнительная информация

Представление функции при разделении переменных.

Выполнение замены переменных(при необходимости).

Переопределение постоянных, которые по умолчанию присваиваются пакетом.

Ввод математической информации, недопустимой в Maple.

Ввод специфических данных(физические параметры, габариты и т.д.).

Ввод и вывод информации, связанной с текущим контролем выполняемых операций(получение результата для известного частного случая, контроль другими средствами).

Ввод информации о форме представления результата (экспоненциальная, тригонометрическая и т.п. формы решения).

Ввод информации для исследования промежуточных и конечных результатов (о порядке разложения в ряд, асимптотике, сравнениях и т.п.).

Рабочая

информация

Последовательность вывода полученных результатов.

Форматы переменных и данных.

Вывод промежуточных результатов.

Типы и форматы графиков.

Пределы изменения переменных.

Заметим, что если ввод и использование основной информации является хорошо разработанным алгоритмом для многих задач, решаемых в MAPLE, то именно программирование, использование дополнительной и рабочей информации, интерпретация промежуточных результатов и их дальнейшее использование при решении уравнений в частных производных представляет собой основную программную задачу.

При этом программные средства MAPLE дают возможность построения формализма решения в терминах и обозначениях известных классических подходов к решениям таких задач. Возможно, это и не является необходимым моментом, но может оказаться важным не только с точки методической точки зрения, но и по ряду существенных моментов, включающих апробацию разрабатываемых методов решений, их интерпретацию и применение.

Таблица 2

Основные типы операций при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных средствами MAPLE

Тип операции

Содержание

Выход

1. Ввод уравнения

Программная запись уравнения на входном MAPLE-языке.

Уравнение на входном MAPLE-языке.

2. Ввод дополнительных данных

Программная запись НУ и ГУ.

НУ и ГУ на входном MAPLE-языке.

3. Использование средств исследования уравнения суммы или произведения функций.

Установление порядка ДУ.

Вывод ответов программой.

Исследование возможности разделения переменных.

Определение условий поиска решения в виде.

4. Использование средств преобразования уравнения.

Выполнение замены переменных.

Вывод преобразованного уравнения.

Выполнение подстановок.

Тип операции

Содержание

Выход

5. Использование основных инструментов решения уравнения

Получение разделенных уравнений по умолчанию с применением команды «pdsolve».

Вывод разделенных уравнений.

Получение разделенных уравнений в заданном виде с применением операторов «pdsolve» и «hint».

Получение решения с применением команды «build» (для тех случаев, когда это возможно).

Вывод решения уравнения.

6. Использование дополнительных инструментов решения уравнения

Учет НУ и ГУ при решении уравнений с применением команды «conds» (для тех случаев,когда это возможно).

Вывод решения уравнений с (частичным) учетом НУ и ГУ.

Проверка полученного решения с применением команды «pdetest».

Вывод результатов проверки.

7. Решение разделенных уравнений и учет НУ и ГУ на уровне разделенных уравнений

Решение задач на собственные значения и собственные функции.

Вывод решений разделенных уравнений в общем виде.

Определение собственных значений и собственных функций.

Вывод собственных функций

Определение коэффициентов разложения.

8. Построение частного решения

Получение частного решения исходного уравнения с учетом исходной факторизации при разделении переменных и коэффициентов разложения.

Вывод частного решения

9. Построение общего решения

Построение общего решения как суперпозиции частных решений.

Вывод общего решения

Учет НУ и определение оставшихся коэффициентов разложения

На основе этих операций можно сформулировать программные алгоритмы построения формальных решений в виде бесконечных рядов, которые необходимо исследовать на сходимость и дифференцируемость. Конечно, операции и действия могут меняться в зависимости от размерности задачи, типов начальных и граничных условий, а также от метода построения решения. Затем (в зависимости от конкретной ситуации) полученные средствами MAPLE решения можно визуализировать и исследовать с целью их интерпретации.

При цитировании материалов в рефератах, курсовых, дипломных работах правильно указывайте источник цитирования, для удобства можете скопировать из поля ниже:

Поделиться материалом