Аннотация

Целью данной работы является расчёт затухающих колебаний в системе с демпфером в виде параллельного соединения сред Фойхта и Джеффриса.

Решение опирается на базовый курс теоретической механики. Для выполнения необходимо знание основ теории демпфирования механических колебаний, при расчёте диссипативных характеристик механических систем - основных понятий и определений.

затухающий демпфирующий колебание

Теоретическая часть

Как известно, колебания, возникающие при работе различных машин и механизмов, передаются прилегающим конструкциям и нарушают нормальную работу других устройств, в том числе приборов и оборудования радиоэлектронной техники. Поэтому появляется задача изоляции колеблющегося объекта от прилегающих конструкций вместе с размещенной на них радиоэлектронной аппаратурой. Кроме того, часто приходится устанавливать различного рода приборы на колеблющемся основании, и при этом требуется изолировать эти приборы от основания так, чтобы им не передавались колебания последнего. В обоих случаях задачи виброизоляции решаются одинаковыми средствами: между объектом и основанием устанавливают демпфирующие устройства, собранные из упругих элементов и элементов сухого и вязкого трения, - при этом конструктивное исполнение демпферов может достигаться многими способами. Например, упругими элементами могут быть винтовые, спиральные и плоские пружины, а также резиновые детали; элементами трения могут служить различные поглотители колебаний, состоящие из двух или более трущихся между собой звеньев, как с сухими поверхностями, так и в масляной среде. Большое разнообразие конструкций демпферов позволяет проектировщику выбрать вариант, наиболее приемлемый в данной конкретной ситуации. Чтобы обеспечить такой выбор, необходимо владеть методами расчета колебательных процессов.

2. Предмет исследования

Предметом исследования является пятиэлементная механическая модель демпфирующего устройства, образованная в виде параллельного соединения сред Фойхта и Джеффриса.

В данной системе известны коэффициенты вязкого трения и жесткости пружин (рис. 9)

Среда Фойхта представляет собой двухэлементную модель образованную параллельным соединением среды Гука и Ньютона. Среда Джеффриса представляет собой модель образованную параллельным соединением среды Ньютона и сред Ньютона и Гука, соединенных последовательно.

3. Простейшие модели сред, используемые при описании колебательных процессов

Простейшими моделями сред, используемыми при рассмотрении процессов колебаний, являются

а) идеальная пружина,

б) идеальный вязкий демпфер,

в) идеальный элемент сухого трения.

В реологии (науке о течении вещества) перечисленным моделям соответствуют среды Гука Н, Ньютона N и Сен-Венана

StV, определяющие три фундаментальных свойства веществ:

а) упругость,

б) вязкость,

в) пластичность

Среда Гука (Н- тело)

Механической моделью Н - тела служит идеальная пружина (упругий элемент), удлинение Х которой в любой момент времени t пропорционально прикладываемой к пружине силе Р:

(1)

где с -- жесткость пружины (в Н/м).

Графически на плоскости координат X, P зависимость (1) представляется прямой линией, проходящей через начало координат (рис 1):

Рис. 1

При гармоническом движении

(2)

где h и соответственно амплитуда и частота колебаний, согласно формуле (1) имеем

(3)

где Q - амплитуда меняющейся по гармоническому закону силы P, причем

Q=ch (4)

Вычислим работу силы (3) на перемещении (2) за период колебаний Т.

Элементарная работа составляет

(5)

где учтено соотношение (4)

Интегрируя выражение (5) в пределах от 0 до Т и учитывая, что , получаем

(6)

т.е. согласно формуле (6) при возбуждении идеальной пружины силой (3) в течение периода колебаний Т работа не производится и, следовательно, потери энергии в пружине не происходит.

Среда Ньютона (N - тело)

Механической моделью N - тела служит идеальный демпфер (амортизатор, катаракт), представляющий собой жидкостный элемент, состоящий из цилиндра, наполненного вязким маслом, в который с некоторым зазором вставлен поршень. В любой момент времени скорость перемещения x поршня относительно цилиндра пропорциональна прикладываемой к демпферу силе

(7)

где r коэффициент вязкого трения (в Нс/м).

При гармоническом движении поршня относительно цилиндра, описываемом формулой (2), для силы Р согласно выражению (7) получаем

(8)

где

а угол характеризует сдвиг по фазе гармонической силы Р относительно гармонического перемещения Х.

Графически на плоскости координат x, P зависимости (2) и (8) представляются эллипсом

(10)

с полуосями

где учтено соотношение (9).

Действительно,


Эллипс (10) изображен на рис. 2:

Рис.2

Рис. 2 Рис.2

Вычислим работу силы (8) на перемещении (1) за период колебаний T:

, (11)

т. е. искомая работа равна площади эллипса на плоскости координат x, Р, обходимого в направлении вращения часовой стрелки. Этот эллипс представляет собой петлю гистерезиса и характеризует рассеиваемую в вязкой среде энергию за один цикл.

Из рассмотрения выражения (11) следует, что энергия, рассеиваемая в вязкой среде за период колебаний Т, пропорциональна частоте колебаний .

Среда Сен-Венана (StV - тело)

Механической моделью St V -- тела служит груз массы m, покоящийся на столе (рис. 3) и приходящий в движение под действием силы Р лишь после того, как та, возрастая, достигает значения, соответствующего силе сухого трения согласно закону Амонтона - Кулона

,

где g - ускорение силы тяжести, f - коэффициент трения:

Рис. 3

Идеальность элемента сухого трения связывается тем, что в данной модели не различают трение движения и трения покоя (в реальном элементе учитывается, что коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения движения)

При гармоническом движении, описываемом формулой (2), петля гистерезиса имеет вид прямоугольника со сторонами 2h и , так что рассеиваемая за цикл энергия

Построение многоэлементных моделей

Многоэлементные модели образуются параллельными и последовательными соединениями простейших элементов. В реологии принято обозначать параллельное соединение элементов символом «», а последовательное соединение -- символом «». Приведем в качестве примеров несколько многоэлементных моделей, построенных указанным способом:

-- двухэлементные модели Прандтля P, Фойхта F и Максвелла М (рис. 4):

Рис. 4

-- трехэлементные модели Пойнтинга-Томсона PTh, Кельвина K, Джеффриса J, Лесерсича L, Бингама B (рис. 5):

Рис. 5

-- четырехэлементные модели Шведова Schw и Бюргерса Вu (рис. 6):

Рис. 6

Анализ многоэлементных моделей процессов демпфирования колебаний

1. Основные положения

Применительно к одномерным задачам основные положения анализа многоэлементных моделей демпфирования колебаний формулируются так:

а) при последовательном соединении двух элементов нагрузки в них одинаковы, а перемещения суммируются;

б) при параллельном соединении двух элементов их перемещения одинаковы, а нагрузки суммируются.

При цитировании материалов в рефератах, курсовых, дипломных работах правильно указывайте источник цитирования, для удобства можете скопировать из поля ниже:

Поделиться материалом