Примеры анализа многоэлементных моделей

а) Модель Фойхта (рис. 4б)

Согласно основным положениям имеем:

Но

Поэтому

При гармоническом движении имеем

(12)

Введем угол сдвига по фазе силы P относительно перемещения x

(13)

Тогда вторую из формул (12) можно представить в виде

где амплитудное значение силы составляет

Исключая t из уравнений (12), получаем уравнение эллипса

, (14)

представляющего собой графическую интерпретацию системы уравнений (12), заданных в параметрической форме.

Эллипс (14) показан на рис. 7. Как известно из аналитической геометрии [3 (с. 339-341)], угол наклона одной из осей эллипса к оси x находится по формуле

где a11, a12, a22 -- коэффициенты общего уравнения линии второго порядка

а роль y в рассматриваемом случае играет P.

Рис. 7

Сравнивая последнее уравнение с уравнением эллипса (14), получаем

Далее находим

В координатах (рис. 7) уравнение эллипса (14) имеет вид

(15)

где , определяются по формулам

Далее находим полуоси эллипса

и вычисляем его площадь

Как известно из аналитической геометрии,

Но , следовательно,

(16)

Рассчитываем работу силы P на перемещении x за цикл колебаний:

что совпадает с величиной правой части формулы (16), т.е. площадь эллипса (14) или, что то же, эллипса (15), равна рассеянной за цикл энергии.

б) Модель Максвелла (рис. 4в)

Согласно основным положениям имеем

Но

Поэтому

(17)

При гармоническом движении

выражение P разыскиваем в виде

(18)

где M, N -- искомые коэффициенты.

Подставляя выражение (18) в уравнение (17), находим

откуда, сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в левой и правой частях, получаем

(19)

Решая систему (19), находим

(20)

где рассчитывается по формуле (13).

Внося соотношения (20) в выражение (18), получаем

откуда следует, что сдвиг по фазе силы P относительно перемещения x равен /2-.

Исключая время t из системы уравнений

(21)

где M и N вычисляются по формулам (20), приходим к уравнению эллипса

(22)

представляющего собой графическую интерпретацию системы уравнений (21), заданных в параметрической форме.

Вид эллипса аналогичен тому, который представлен на рис. 7. Угол находится по формуле

Как и в случае модели Фойхта, эллипс (22) изображает петлю гистерезиса, площадь которой равна рассеянной за цикл работе силы P на перемещении x:

Внося сюда , определяемое формулой (13), получаем


Коэффициент поглощения

Рассеяние энергии при колебаниях оценивается коэффициентом поглощения, равным отношению работы диссипативных сил A к наибольшему значению потенциальной энергии упругого элемента, т.е.

(23)

Например, для сред Фойхта и Максвелла по формуле (23) получаем


Логарифмический декремент колебаний

Из теории колебаний известно, что коэффициент поглощения равен удвоенному логарифмическому декременту колебаний , т.е.

В свою очередь, определяется выражением

где q -- знаменатель геометрической прогрессии, членами которой являются абсолютные величины максимальных отклонений h1, h2, h3, … при свободных затухающих колебаниях (рис. 8).

Рис. 8

Содержание задания и исходные данные

Для заданной механической модели демпфирующего устройства (рис. 9), образованной параллельными и последовательными соединениями элементов Гука и Ньютона с известными жёсткостями и коэффициентами внутреннего трения, требуется:

а) составить реологическую формулу,

б) в предположении, что расстояние между точками приложения сил Р изменяется по гармоническому закону , найти гармонический закон изменения силы Р в виде

,

где , ;

в) исключив время t из системы уравнений

, ;

найти уравнение эллипса, изображающего петлю гистерезиса, построить этот эллипс на плоскости координат X, Р/С при, рассчитав его полуоси а, b и угол наклона одной из осей к оси X и вычислить площадь эллипса по формуле

г) найти энергию, рассеиваемую в заданной механической системе за цикл колебаний при той же частоте, интегрированием выражения в соответствующих пределах,

д) вычислить наибольшее значение потенциальной энергии в упругих элементах,

е) определить при частоте коэффициент поглощения и логарифмический декремент колебаний и построить график функции , описывающей процесс затухания колебаний.

Исходные данные:

c1=cc2=3c/2c3=2c

r1=r r2=2r

Рис. 9

При цитировании материалов в рефератах, курсовых, дипломных работах правильно указывайте источник цитирования, для удобства можете скопировать из поля ниже:

Поделиться материалом